Алексей Александрович Игнатьев родился 15 августа 1895 г. на Смоленской улице в городе Великие Луки. Его отец был плотником, а на старости лет служил сторожем в Главных железнодорожных мастерских.
Алексей учился в начальной школе на Смоленской улице, а затем в железнодорожном училище. В 1910 г. поступил учеником слесаря в Вагонный цех Главных мастерских, в бригаду В.М. Слюсарука по внутреннему оборудованию пассажирских вагонов. Работал в мастерских, занимался самообразованием. Выписывал книги издательства «Благо»: «Гимназия на дому», «Немецкий язык», а также по слесарному делу.
В 1915 г. переехал в Петроград и поступил слесарем в мастерские бронированных автомобилей. Вскоре эти мастерские закрыли, и он работал в мастерских офицерской электротехнической школы, а позднее в школе судовых механиков.
В мае 1916 года был призван в старую армию и назначен в 6 запасный саперный батальон.
Принял активное участие в революционных событиях 1917 г. В Февральской революции участвовал во взятии революционными войсками Арсенала на Литейном проспекте и тюрьмы на Шпалерной улице Петрограда. Участвовал в Октябрьской революции в Петрограде и в Москве. Слушал выступление В.И. Ленина о мире и о земле.
После демобилизации из старой армии вернулся в Великие Луки и поступил слесарем в Главные мастерские в ту же бригаду. Весной 1918 г. вступил в группу сочувствующих, а через несколько месяцев вступил в коммунистическую партию. Был командиром отряда железнодорожной партийной организации.
В 1919 г. сложилась сложная ситуация на фронтах Гражданской войны, и Игнатьев с пятью товарищами из партийной организации вступили в армию. В составе 6-й стрелковой дивизии Алексей Александрович участвовал в ожесточенных боях под Петроградом против Юденича. Зимой 1919 года его дивизия дралась против белоэстонцев. В начале 1920 г. 18-я отдельная саперная рода была переброшена в Псков, где строила переправы через р. Великую. В апреле 1920 г. 6-я саперная дивизия была передислоцирована в район Витебска, откуда пошло наступление в сторону Варшавы против белополяков. После заключения мира с поляками дивизия Игнатьева была расквартирована в г. Курске. В мае 1921 г. имя Игнатьева среди прочих было занесено на доску почета г. Курска.
Летом 1921 г. он получил назначение в Петроград, где вступил в командование ротой 1-го саперного батальона. В этом же батальоне служил начальником школы младшего командного состава и командиром батальона. Одновременно занимался на общеобразовательных курсах им. Герцена. В 1922 г. был избран членом Петроградского совета.
С августа 1924 г. по июль 1927 г. Игнатьев - слушатель Военной академии РККА им. М.В. Фрунзе. Получил назначение начальником штаба 296 стрелкового полка на Украину. Одновременно был военным руководителем Смоленского института сахарной промышленности.
В 1929 году назначен начальником штаба Моторизованного отряда в г. Киев. Сдал экзамен на военного переводчика по английскому языку.
В 1932 г. была образована военная академия бронетанковых войск (Военная академия механизации и моторизации им. Сталина). Игнатьев был назначен в академию старшим преподавателем. В 1936-1937 гг. был начальником штаба 6 танковой бригады Петроградского военного округа.
Весной 1938 г. был назначен начальником кафедры тактики академии бронетанковых войск. В том же году за разработку теории тактики бронетанковых войск ему было присвоено ученое звание доцента. В 1939 г. вышла книга Игнатьева «Танки в общевойсковом бою». Позднее он защитил диссертацию на кандидата военных наук.
Весной 1940 г. в целях повышения боеспособности армии были организованы инспекции по родам войск. Игнатьев был назначен помощником генерал-инспектора бронетанковых войск. В качестве председателя инспекционной группы Игнатьев совершил несколько интересных поездок: на Карельский перешеек, Западную Белоруссию, Западную Украину, на Дальний Восток и др. места.
В первые дни войны был командирован как помощник генерал-инспектора на Киевское направление для наблюдения за действиями командования бронетанковых войск и за развертыванием запасных частей. Во время этих поездок несколько раз попадал в тяжелое положение. В Староконстантинове пришлось самому организовывать оборону. Недели через три срочно вызван в Москву и 15 июля 1941 г. назначен (первым) начальником Челябинского танкового училища.
В 1942 г. был назначен заместителем начальника управления боевой подготовки Главного автобронетанкового управления Красной Армии. С марта 1943 г. служил на Брянском фронте заместителем командующего бронетанковыми и механизированными войсками (БТиМВ) фронта по боевому использованию и применению танковых войск. Участвовал в разработке и проведении Орловской стратегической наступательной операции «Кутузов» и Брянской операции. После ликвидации Брянского фронта, был перенаправлен на 2 Прибалтийский фронт. Неоднократно проезжал через освобожденные Великие Луки к действующей западнее города 22 армии.
В декабре 1943 г. продолжил службу в Военной академии БТиМВ им. И.В. Сталина, возглавил новую кафедру штабной службы.
В 1944 г. Игнатьев разработал наставления по прорыву позиционной обороны.
В 1946 г. инспектировал две дивизии, базировавшиеся в Германии.
После окончания войны Игнатьев вошел в состав комиссии по разработке новых общевойсковых уставов.
30 июня 1950 г. назначен начальником кафедры тактики Военно-юридической академии.
В сентябре 1955 г. уволен в запас с правом ношения военной формы.
Умер 4 апреля 1977 г. в Москве.
