Родился в 1917 году на хуторе Иващево, ныне Великолукского района Псковской области, в семье крестьянина. Окончив неполную среднюю школу, работал слесарем. Затем поступил в аэроклуб, который закончил в 1937 году. На следующий год был призван на службу в ряды Красной Армии. Окончил Одесскую военную авиационную школу лётчиков. Служил на Дальнем Востоке.
С Июля 1941 года в действующей армии.
С началом Великой Отечественной войны полк, в котором служил младший лейтенант Попов, был переброшен на Северо-Западный фронт и 12 июля 1941 года был включён в состав 31-й смешанной авиационной дивизии. В боях с немецко-фашистскими захватчиками А. В. Попов с 13 июля 1941 года. Воевал на истребителе И-16. Лётчики 29-го истребительного авиационного полка осуществляли прикрытие подразделений 29-й армии, патрулируя воздушное пространство в районах Вышнего Волочка, станции Бологое, Осташкова, Андреаполя, Селижарово, Фирово, Торжка, Кувшиново.
21 Июля 1941 года полк пербазировался на Западный фронт и на второй день А.В. Попов в паре с младшим лейтенантом Л. З. Муравицким, прикрывая бомбардировщики в районе станции Новосокольники, сбили истребитель Ме-109.
8 Августа 1941 года младший лейтенант А. В. Попов вылетел в составе группы, возглавляемой командиром эскадрильи Капитаном А. А. Тормозовым, на прикрытие переправы от бомбардировщиков противника. Вскоре появились 6 Ju-88, летевших под прикрытием шестёрки Ме-109. В ходе завязавшегося боя было сбито 8 самолётов противника, в том числе один «Юнкерс» записал на свой боевой счёт Александр Попов.
К вечеру 10 Августа самолёты полка перебазировались ближе к линии фронта. Это позволило увеличить количество боевых вылетов. Чтобы не терять времени, лётчики порой и обедали прямо в кабине. Особенно рвался в воздух младший лейтенант Попов. Теперь ему почти в каждом вылете приходилось вести бои над своим родным городом — Великими Луками. Командир полка понимал его стремление и не отказывал в «лишнем» задании. Не было случая, чтобы А.В. Попов, заметив над городом самолёты противника, не сбил хоть один. Обычно он вылетал в составе звена под командой Лейтенанта Н. Н. Морозова. Неизменным напарником А.В. Попова был его боевой друг младший лейтенант Л. З. Муравицкий.
Утром 3 сентября 1941 года в условиях низкой облачности и дождя звено истребителей И-16 в составе командира звена старшего лейтенанта В. П. Хомусько и лётчиков А. В. Попова и Л. З. Муравицкого вылетело на разведку дорог. Обнаружив колонну немецких танков и автомашин, звено повернуло обратно. Восточнее озера Вепукке лётчики отразили атаку немецких истребителей, сбив один Ме-109, но при пересечении линии фронта попали под плотный зенитный огонь. Командир звена проскочил, но два других И-16 получили серьёзные повреждения. Раненый в голову Муравицкий сумел пересечь линию фронта и посадить самолёт на своей территории. Младший лейтенант А. В. Попов направил объятый пламенем самолёт в колонну немецких танков.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 октября 1941 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство младшему лейтенанту Попову Александру Васильевичу было присвоено звание Героя Советского Союза посмертно.
